なぜアメリカンスタイルのオプションはヨーロピアンスタイルのオプションよりも価値があるのですか？

あなたの計算は間違っています。期限切れを待っても同じように儲かる可能性はありません。

株価は常に両方向に動いています。どのような株でも、真っ直ぐに上昇したり、真っ直ぐに下降したりすることはほとんどありません。今日の株価が12ドルの株を考えてみましょう。おそらくその株は買いではなく、1ヶ月後には10ドルまで下がっているでしょう。

ヨーロピアンオプション（例えば、1ヶ月後に有効期限が切れるアットザマネーコールで、当社の開始日に12ドルとします）を購入した場合、あなたは損をしてしまいました。あなたのオプションは無価値に失効しました。

アメリカのオプションを購入した場合、株価が15ドルの時に行使して大儲けすることができました。

全く同じ銘柄で、全く同じ歴史を持ち、全く同じ期間に渡って話をしていることを覚えておいてください。唯一の違いは、オプション契約です。アメリカのオプションは、ラリー中にいつでも行使すれば利益を得ることができましたが、ヨーロッパのオプションはそうではありません - 1ヶ月間保有することを余儀なくされ、最終的には無価値のまま失効させることになります。

(もちろん、これは厳密にはそうではありません。ヨーロピアンオプション自体は資金がある間に売却することができるからです。)

アメリカのオプションとヨーロッパのオプションの違いは、権利を得るチャンスを N 回（N は有効期限までの日数）得ることと、たった _1 回のチャンスを得ることの違いです。価格の動きを正確に予測できなくても、前者の方が利益を得る可能性が高い理由は簡単にわかるはずです。

オプションとは、何かをするための「権利」（義務ではない）を与える商品です（ロングの場合）。

アメリカのオプションは、ヨーロッパのオプションよりも多くの「権利」（より多くの日に行使できる）を与えてくれます。

「権利」が多ければ多いほど、オプションの（理論的な）価値は大きくなる。これがまさにオプションの仕組みです。

あなたは ex post の結果を指摘して、それはそうではないと言うことができます。しかし、それは ex ante で真です。

ハルの本によると、配当金を払わない株式に対するアメリカのコールとヨーロッパのコールは同じ価値を持つべきである。しかし、アメリカのプットは、ヨーロッパのプットと同等かそれ以上の価値を持つべきである。

その理由は、お金の時間的価値にあります。プットでは、与えられた権利行使価格で株式を売却するオプションを得ることができます。このオプションをt=0で行使すると、t=0で権利行使価格を受け取り、リスクフリーレートで投資することができます。rfレートが10%で、権利行使価格が10ドルだとします。一方、オプションを早期に行使しなかった場合、t=1の時点では、単に権利行使価格（10$）を受け取ることになります。基本的に、プットオプションのペイオフである権利行使価格には利息はつきません。

別の見方をすれば、オプションは2つの要素で構成されています。保険」要素とオプションの時間価値です。保険要素とは、一定の価格で株式を購入するオプションを持つために支払うものです。プットオプションの場合、それはペイアウト= max(K-S, 0)に等しく、K=権利行使価格、St=株価となります。オプションの時間価値は、リスクプレミアムと考えることができます。これは、オプションの価値と保険要素との差額です。

プットオプションを早期に行使することのメリット（収益のリスクフリーレートを得ること）がプットオプションの時間価値を上回る場合は、早期に行使すべきである。

これを見るもう一つの方法は、プットオプションの上限値を見ることです。ユーロ圏のプットの場合、オプションの今日の価値が、リスクフリーレートで割り引いた権利行使価格の現在価値を超えることはありえない。このルールが守られていない場合は、単にリスクフリーレートで投資することで裁定取引が可能となる。アメリカン・プットの場合、いつでも行使できるので、今日の最大値は単に権利行使価格に等しい。したがって、権利行使価格のPVは権利行使価格よりも小さいので、アメリカーン・プットはより大きな価値を持つことができます。

これは、配当金を支払わない株式の場合であることに注意してください。前述したように、配当金を支払う銘柄の場合は、配当金が支払われる直前に行使するのが最適かもしれません。

もしあなたが数学が好きなら、この思考実験をしてみましょう。

ランダムウォークプロセスの結果Xを考えてみましょう（株はこのような振る舞いをしませんが、あなたの質問を理解するためには便利です）。

初日には、X=何らかの整数 1 . その後の各日、Xは1/2の確率で1ずつ上下する。

X のコールオプションを購入することを考えてみましょう。N 日目に有効期限が切れる行使価格 S のヨーロピアンオプションで、その日まで保有し、利益が出た場合に行使すると、値 Y = min(X[N]-S, 0) が得られます。これは、実際に計算できる期待値E[Y]を持っています。(二項分布に関連しているはずですが、今日は私の確率・統計学の帽子がうまく機能していません) そのオプションの日#kの市場価値V[k]は、1 < k ≦ Nの場合、V[k] = E[Y]|X[k]となるはずですが、これも実際に計算できます。

アメリカのオプションは、もし #k 日目まで保有し、利益が出れば行使すると、Y[k] = min(X[k]-S, 0)となります。

当分の間、市場でオプションを売ることは忘れてください。

その日が k=N-1 だとしましょう。

もし、X[N-1]の場合は、S+1 (in the money) となり、今日行使するか、利益が出れば明日行使するかの2つの選択肢がある。期待値は同じです。(どちらもX[N-1]-Sに等しい)。なので、それを行使して、他のところでお金を活用したほうがいいかもしれません。

しかし、X[N-1]=S（お金で）の場合、ここからが面白いところです。今日行使した場合は 0 の価値がありますが、明日まで待てば、1/2 の確率で 0 (X[N]=S-1) の価値があり、1/2 の確率で 1 (X[N]=S+1) の価値があります。嗚呼！！！！！！！！！！！（笑 ということは、期待値は1/2ですね。なので、明日まで待った方がいいです。

さて、k=N-2の日だとしましょう。

同じような状況だが、選択肢が増える。X[N-2]がS+2なら、今日売ることもできるし、その場合、値=X[N-2]-Sを知っているか、明日まで待つこともできる。繰り返しになりますが，今すぐ行使した方が良いでしょう。

X[N-2] = S-1 の場合、今日は 0 の価値があるが、明日まで待てば、期待値が上がれば ½ の価値がある（X[N-1]=S）か、下がれば 0 の価値があり、正味の期待値は ¼ になるので、待った方がいい。

If X[N-2]=S, it’s worth today, but tomorrow it’s worth an expectations value of 1 if it goes up, or if it goes down -> net expectations value of ½, so you should wait.

If X[N-2] = S+1, it’s worth 1 today, whereas tomorrow it’s worth an expectations value of 2 if it goes up, or if it goes down (X[N-1]=S) -½ if it goes down (X[N-1]=S) -net expectations value of 1.25, so you should wait.

もし、k=N-3の日で、X[N-3]の場合は、E[Y]=X[N-3]-Sだから、今すぐ行使した方がいい。 125で明日まで待てば、今すぐに2の値で運動するのに比べて、X[N-3] = S+1ならE[Y] = (2+0.5)/2 = 1.25、運動値1の場合; X[N-3] = SならE[Y] = (1+0.5)/2 = 0.75、運動値0の場合; X[N-3] = S-1ならE[Y] = (0.5 + 0)/2 = 0.75、運動値0の場合; X[N-3] = S-1ならE[Y] = (0． 5 + 0)/2 = 0.25, 対運動量0; X[N-3] = S-2 ならば E[Y] = (0.25 + 0)/2 = 0.125, 対運動量0 (全5回の場合は明日まで待ちましょう)

あなたの運動量は？ )

このままでいい。再帰式は、E[Y]|X[k]=S+d = {(E[Y]|X[k+1]=S+d+1)/2 + (E[Y]|X[k+1]=S+d-1) for N-k > d> -(N-k), when you should wait and see} or {0 for d <= -(N-k)となる。とするか、{d for d ™>= N-k, when you should exercise the option now}とするか。}

オプションの #k 日目の市場価値は、オプションを行使することも待つこともできる人にとっての期待値と同じでなければならない。

X のアメリカのオプションの期待値が、X のヨーロッパのオプションの期待値よりも大きいことを示すことができるはずです。*直感的な理由は、そのオプションが資金の範囲外になることが不可能なほど大きな金額で資金を保有している場合、そのオプションは早期に行使（または売却）されるべきであり、欧州のオプションではそれが許されないからです。 *

実質証券に関しては、ランダムウォークではありませんが（少なくとも確率は時間的に変動しており、より複雑です）、似たような状況はあるはずです。そして、高い確率で株が下がることがあれば、それは行使/売却のタイミングです。のように，イン・ザ・マネーのアメリカのオプションでは，ヨーロッパのオプションではできません．

edit : … …何を知っているかというと、ランダムウォークのために私が上であげた計算は、二項オプションの価格設定モデルと概念的にはあまり変わらないということです。

流動性の違いは、アメリカ式オプションが一般的にヨーロッパ式オプションよりも価値がある理由を説明しています。私の知る限り、この質問に対する回答の中で流動性について言及している人はいませんでした。これまでの回答がすべて間違っているというわけではありません - 彼らは中心的な原因ではなく周辺要因を扱っているだけなのです。

流動性は、金融市場における価格や評価の重要な決定要因である。流動性とは、資産の売買（現金化）のしやすさを簡単に説明したものです。その理由を説明するまでもなく、国庫短期証券は最も流動性の高い証券の一つであり、いつでも正確な価格でほぼ瞬時に売買することができます。国庫短期証券のほぼ完璧な流動性は、国庫短期証券の価格（利回り）が、他の同じ社債や地方債よりも常に高い（低い利回り）になる主な理由の一つです。一般的に言えば、相対的に流動性の高い資産は、相対的に流動性の低い資産よりも常に価値が高いということになる。

流動性の価値は簡単に理解できます。家や車を購入する場合、必要に応じて転売できるかどうかは決断の重要な要素です。これは投資家にとっても同じで、ほとんどの人は、現金が必要になったときに素早く簡単に流動化できる資産を好むでしょう。

オプションも同様です。アメリカ式のオプションでは、保有者はいつでも行使（清算）できるのに対し、ヨーロッパ式のオプションの買い手は、特定の日まで現金を保有しています。もちろん、オプションを早期に行使することが純利益の面で意味をなすことはほとんどないが、投資家がどうしても現金を必要としており、その必要性が早期行使による純利益の減少を上回っている場合もある。

どちらのタイプのオプションでも満期前に無制限に取引（売却）できるため、この流動性の優位性が解消され、ロングポジションを決済することができると論じることができます。これは有効な指摘であるが、オプション取引の相手側には常に買い手がいるという事実を無視したものであり、ロングポジションや早期行使の権利・制限が解消されることはなく、単に手が変わるだけである。つまり、アメリカ式の流動性の優位性は、ポジション（コール/プット、ショート/ロング）に関係なく、オプションの市場価値を高めることになります。

正確な数字を付けなくても、一般的な金利（貨幣の時間価値）を使用して、同じようなヨーロピアンスタイルの契約よりもアメリカンスタイルのオプションの追加コストを概算することができます。

プットオプション

なぜアメリカ式のオプションの方がヨーロッパ式のオプションよりも価値があるのか？

• アメリカのプットオプションの最高価格は、ヨーロッパのプットオプションの最高価格よりも高い。

• アメリカのプットオプションの最低価格は、ヨーロッパのプットオプションの最低価格よりも高い。

説明する。

ある株式が40ドルで売られていて、権利行使価格が50ドルのプットオプションを持っているとします。

アメリカン・プット

• アメリカン・プット・オプションの 最小価格は、権利行使価格と株価（すなわち本質的価値）の差です。私たちの場合、米国のプットオプションの最低価格は10ドルです（つまり、50ドル-40ドル）。もしこれがそうでなければ（プットの価格が10ドル以下であれば）、プットを買ってすぐに行使することで裁定取引を行うことができます。例えば、プットの価格が7ドルであれば、株を買って（-40ドル）、プットを買って（-7ドル）、すぐにプットを行使して（+50ドル）、3ドルの利益を得ることができます。

• アメリカのプットオプションの最大価格は権利行使価格です。プットの価格は権利行使価格を超えることはできません。50ドルで売る権利のために、誰が52ドルを支払うでしょうか？誰もいません。

ヨーロッパのプット

• アメリカのオプションとは対照的に、ヨーロッパのプットオプションの最小価格は、権利行使価格と株価の差よりも小さい（つまり、本質的価値よりも小さい）ことがあります。例えば、現在の株価が40ドルの場合、権利行使価格が50ドルのプットオプションは9ドルで売ることができます。

• アメリカのオプションとは対照的に、ヨーロッパのプットオプションの最大価格は権利行使価格よりも低くなります。これはなぜでしょうか？この場合、プットオプションの価格が権利行使価格（例：$50）と全く同じであったとします。この場合、プットオプション（+$50）を売却し、その収益を銀行口座に入れて利息を得ることができます。例えば、プットをたくさん売り（例：10億ドル）、プットをカバーするのに十分な株を買い（例：-8億ドル）、その収益（2億ドル）を銀行口座に入れて利息を得ることができます。フリーローンは起こるはずがありません。したがって、欧州のプットオプションの最高価格は、権利行使価格よりも低くなければなりません。

コールオプション

最高価格と最低価格は、ヨーロッパのオプションもアメリカのオプションも同じです。例を挙げてみましょう。

ある株式が$40で売られていて、権利行使価格が$30のコールオプションを持っているとします。

• 欧米のオプションであれ、コールオプションの最小価格は、株価と権利行使価格の差以上（つまり、本質的価値以上）です。もし、このような状況でなければ（つまり、コールの価格が正確に10ドルであれば）、株式を空売り（40ドル）し、コールを買い（10ドル）し、その代金（30ドル）を利ざやのある銀行口座に入れることが可能です。例えば、大量の株式を空売りし（例：10億ドルの空売り）、空売り分のプットを買い（例：2億5000万ドルの空売り）、現金収入（7億5000万ドル）を銀行口座に置いて、現金の利息を得ることができます。したがって、コールオプションの最低価格は、このような可能性を否定するのに十分な高さでなければなりません（すなわち、最低価格は株価と権利行使価格の差よりも大きくなければなりません）。

• 欧州でも米国でも、コールオプションの最大価格は、原資産である株式そのものの価格である。もしこれがそうでない場合（つまり、コールオプションの方が株式よりもコストが高い場合）は、オプションを気にせずに株式を購入することができます。結局のところ、権利自体の価格が株式よりも高いのであれば、なぜ誰もが株式を購入する権利のためにお金を払うのでしょうか？

数学的に言えば、アメリカのオプションを早期に行使する正当な理由があるのでしょうか？

• 上記の図から、米国のオプションが本質的価値を下回る価格で売られることはないことは明らかである（仮に米国のオプションが本質的価値を下回る価格で売られた場合、そのオプ ションを購入してすぐに行使することで利益を得ることができるだろう）。
• オプションの価格は、本質的価値＋時間的価値で構成される。アメリカン・オプションの価格が本質的価値を下回ることはないので、アメリカン・オプションの時間的価値の構成要素は決してマイナスにはならないと結論づけることができる。
• 有効期限前にオプションを処分するには、2 つの方法がある。
• 早期行使。
• 早期行使：アメリカン・オプションを早期に行使した場合、その利益は本質的価値のみに相当する。
• 売却。米国のオプションを売却した場合、その利益には本質的価値と時間的価値の両方が含まれる（負の値になることはない）。
• 早期行使よりも売却の方が常に多くの利益を得ることになるので、早期行使は意味がない。

オプションはあなたにoptionを与えます。つまり、あなたはどんなセキュリティを買っていない - あなたは単にセキュリティを購入するためのoptionを買っている。あなたが購入するものの唯一の価値は、何かを購入するためのoptionです。

アメリカのオプションは、より柔軟性を提供しています - つまり、株式を購入する上でより多くのoptionsを提供しています。オプションの数が増えるので、オプションのコストは高くなります。

もちろん、良い例を見れば、なぜこのようなことが起こるのかがよくわかります。VIXを考えてみましょう。VIXのオプションはヨーロピアンスタイルです。時々、VIXは狂ったように急上昇し、数日で価値が3倍になることがあります。しかし、通常は2～3週間ですぐに元に戻ります。VIXはおそらく通常に戻ってくるので、これまでのところVIX上のオプションは、単に全体の多くの価値がありません。しかし、もしVIXが上昇に転じたときに権利行使ができていれば、そのオプションの価値の何倍もの財産を作っていたでしょう。しかし、これらのオプションはユーロ圏のスタイルなので、VIX がほぼ正常に戻る頃に、オプションが償還されるのを待たなければなりませんでした。この場合、アメリカンスタイルのオプションの方がはるかに価値が高いでしょう - 特にVIXのように予測が難しいものに対しては。

オプションの価値には2つの要素があり、時間的価値の要素と、権利行使価格と原資産価格の差から得られる本質的価値があります。アメリカまたはヨーロッパのオプションでは、コールオプションの本質的価値は、原資産（それが株式であるか、将来のものであるかなど）を同額売却することで、いつでも「ロックイン」することができます。

さらに、オプションの時間的価値は、オプションのデルタヘッジ、すなわち、満期時にオプションが資金を有していることの確実性の尺度（デルタ）で加重された原資産の量を売買することによって、オプションの時間的価値を貨幣化することができます。

その代わり、アメリカン・オプションの余分な価値は、原資産の価値を早期に実現できるという経済的な利益に由来する。配当金を支払う株式の場合、これは主に配当金になります。しかし、配当金を支払わない株式や先物の場合、イン・ザ・マネー・オプションの買い手は、オプションの本質的な利益を早期に実現し、今日の利益に利息を得ることができます。しかし、彼らが犠牲にするのは、オプションのタイムバリューです。

しかし、オプションが非常にインザマネーになり、デルタが 1 または -1 に近づくと、オプションの「シータ」または時間価値の減衰よりも、本質的価値（すなわち、支払いに近づくにつれて、将来のキャッシュフローが毎日追加で価値を持つ金額）のディスカウントの方が大きくなります。そうなると、早期に行使してオプション性を放棄し、金銭的な利益を前もって実現することが最適となります。

配当金を支払わない株式の場合、アメリカのコールオプションの価値は、実際にはヨーロッパのコールオプションと同じです。株式のスポット価格は、リスク・フリー・レート（または資金調達コスト）で割り引いた満期時の先渡価格よりも低くなります。これは正確に早期に行使し、収益をバンキングすることにより、金銭的な利益を相殺します。しかし、将来のオプションのために、原資産（将来）の今日の値は、満了時と同じであり、その可能性は完全に今日受け取ったお金で得た利子を実現することができます。したがって、アメリカンコールオプションは、より多くの価値があります。両方の例では、アメリカのプットオプションは、株式のために少しそう、より多くの価値があります。株式のスポット価格は先渡価格よりも低いため、プットオプションの所有者は、有効期限まで待つよりも、今日の高い権利行使価格で株式を売却した方が、より高い（割引前の）本質的利益を得ることができ、得られた利息を実現することができます。

流動性は、早期に行使できることの知覚価値に影響を与えるかもしれないが、オプション評価の一般的な計算に追加される具体的な要因ではないし、取引可能なオプション市場を持つ資産の大部分では、実際には考慮されていない。

オプションの寿命のどの時点でも、将来の価格パスを知らないことを覚えておくことも重要です。可能性のある結果の分布をモデル化しているに過ぎません。アメリカのオプションを早期に行使した後に何が起こったかは、もはやその価値には何の関係もありません。株価がその後暴落するかどうかは関係ありません。重要なのは、コールを早期に行使すると、権利行使価格からの下落幅の上限によって保護されている潜在的なアップサイドをすべて「放棄」するということです。

このように考えてみましょう。もし、あなたがAAPLの株価を完璧に把握した上で、1ヶ月前にタイムスリップしたとしたら、その期間中のAAPLの株価はピークを迎え、その期間の終わりには元の価格に戻っていたとしたら、アメリカのオプションの方が高くつくのではないでしょうか？

オプションについて考えるもう一つの方法は、保険としてのオプションです。地震による損失だけではなく、火災や地震による損失をカバーする保険の方が高くなるのではないでしょうか？

最後に、そしておそらく最も直接的な理由ですが、満期前にアメリカン・オプションを行使する（売却するのではなく）理由としてよく挙げられるのは、オプション契約の満期前に予想外の配当金（オプションの残存時間価値よりも大きい）が支払われると発表された場合です。なぜなら、配当金を受け取るのは実際の株主だけであり、オプション保有者ではないからです。アメリカのオプションの保有者は、その配当金を手に入れるために時間内に行使する能力を持っているが、ヨーロッパのオプション保有者にはその能力がない。

少ない柔軟性（あなたが実際に支払っているもの）=低いオプションプレミアム。