ブラック・ショールズモデルはアメリカンスタイルのオプションに適用されますか？

アメリカン・オプションとヨーロピアン・オプションの違いは、アメリカン・オプションはいつでも行使できるのに対し、ヨーロピアン・オプションは決済日にしか清算できないことです。アメリカのオプションは “連続した時間 "の商品であるのに対し、ヨーロッパのオプションは "ポイントインタイム "の商品です。ブラック・ショールズは、後者の欧州オプションに適用されます。一定の」状況下では（すべてではありませんが）、両者は代替品と見なすのに十分に近いものです。

彼らの弟子の一人であるロバート・マートンは、アメリカのオプションを説明するためにそれを「微調整」しました。これについては数年後に議論があり、他の微調整もある。

ブラック・ショールズは、通常、早期に行使する理由がないので、アメリカのオプションについては「十分に近い」のですが、その能力は重要ではありません。数学的にモデル化するのは難しいと読んだので、これは良いことだと思います。

早期行使は、通常、理論上のオプションのバリュエーションがめちゃくちゃになっているようなテクニカル/マーケットアクション的な理由で、変な誤値付けが原因で起こることが多いです。例えば、はるかに儲かっているコールを売却して、時間価値（スプレッド後）を得られなかった場合、おそらくそのコールを行使しようとしているアービトラージアーに売却したのではないでしょうか。でも、こういう変わったことをしても大局的にはあまり変わらないんですよね。

ブラック・ショールズの枠組みの中で、いくつかの観察をしてみましょう。

• アメリカのコールは、配当金支払いのない資産のヨーロッパのコールと同じ価格である。
• ブラック・ショールズの公式は、ヨーロピアン・オプションにのみ適用される（上述の通り、配当金支払いのない資産のアメリカン・コールにも適用される）。
• コール・プットのパリティにより、いくつかの有効期限と権利行使価格についてヨーロピアンコール価格がある場合、その有効期限と権利行使価格についてもヨーロピアンプット価格があることになります。
• もしあなたが、ある期限日Tのすべてのストライキについてヨーロピアンコール価格を持っているならば、その期限の「ヨーロピアン」ペイオフの価格を簡単に計算することができます（例えば、デジタルコールV = 1_{S>K}、または放物線V = S^2、または何でも）。概念的には、あなたがバタフライ・スプレッドを形成して、連続して増加するストライクに対して、あなたがそこで終わる「リスク中立的な」確率を与え、そして、あなたは単にペイオフの上で統合する。

次に、ブラック・ショールズのフレームワーク（株価は幾何学的ブラウン運動、取引コストなし、単一金利など）と数値的手法（PDEソルバーなど）を使って、アメリカンスタイルのオプションの価格を数値的に設定することができるようになりましたが、単純な閉形式ではなく、（閉形近似はありますが）。

ちょっとした余談。S&Pの平均リターンは10％、標準偏差は14％程度だと主張することができますが、実際のリターンは標準的なベルカーブにあまりフィットしていないことがわかります。市場の異常は、20年の期間でさえ予測されたよりもはるかに多くの頻度で「100年の洪水」を発生させます。これは、たとえ±2標準偏差がきれいに見えたとしても、モデルがテール部の現実を反映していないことを意味しています。

これは、ブラックホール（ほとんど頭文字をとって略すところでしたが、もっといいと思ったので、実際にはこのモデルが好きです）にも当てはまります。アメリカンとヨーロピアンの区別が少ない分、この2つのオプションスタイルの違いよりもモデルの精度の幅が広くなっています。モデルと実際の価格設定を見れば、権利行使価格周辺の価格を使って、その銘柄のボラティリティを判断できると思いますが、その後、よくアウトオブマネーのオプションをモデル化すると、市場が独自のバリュエーションを作っていることに気づくことが多いように思います。

はい、あなたの理解は正しいです。厳密に言えば、ブラック・ショールズモデルは欧州オプションの価格設定に使用されます。しかし、欧州オプションと米国オプションのペイオフ（価格）は十分に近く、原資産に配当金が支払われず、流動性コストがゼロに近い場合（超低金利シナリオなど）は、近似値として使用することができます。

現在のところ、アメリカン・オプションの価格を設定するクローズド・フォームの方法はありません。少なくとも私が知っている限りではありません。多周期二項式価格設定 ](https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_model_(finance) は、ほとんどが再帰的であるため、格子 )に頼るべきです。

しかし、米国のプット・オプションは早期に行使される可能性が高く、ブラック・ショールが適用されないことを意味します。