そう、その時を教えてくれる数学はケリー基準と呼ばれている。
Kelly Criterion は、ポジティブサムゲームにどれくらい賭けるべきかを表しています。
コインをひっくり返して、表ならば賭け金の3倍、裏ならば賭け金を失うゲームがあると想像してみてください。あなたは直感的に「いいね、プレイして、持っているお金を全部賭けるべきだ!」と思うでしょう。– 結局のところ、平均投資収益率は50%です。賭けた1ドルにつき平均1.5ドルが戻ってくるので、賭けなかった1ドルは0.5ドルの損失となります。
しかし、これをやって10年間毎日プレイしていたら、ほぼ必ず破産してしまいます。面白いですね。
一方、何も賭けなければ、大きな投資で損をしていることになる。つまり、ある前提条件の下では、全てを賭けたくないし、何も賭けたくない(ほぼ無期限に賭けを繰り返すことができると仮定して)ということになります。
問題は、あなたのバンクロールの何%を賭けるべきかということです。
ケリー基準がこの質問に答えてくれます。典型的なケリー基準のケースは、損失に対する保険ではなく、ポジティブなリターンのベットをしている場合ですが、ちょっとした数学的トリックを使うことで、損失に対する保険にどれくらいの金額をかけるべきかを決定することができます。
ケリー基準を理解するための「簡単な」方法は、与えられた期間に自分の価値の対数を最大化したいということです。そのような最大化は、ある意味で長期的な価値を最大化することになる。
保険のケースで試してみましょう。
100万ドルの資産があるとします。その資産は、1年に1%の確率で、何らかのランダムな出来事(洪水、火事、税金、投石器)によって破壊されます。
あなたはこれに備えて、年間価値の2%で保険に加入することができます。これはピッチフォークまでカバーしています。
一見すると、これは悪い取引のように見えます。あなたの予想損失はわずか1%ですが、損失を隠すためのコストは2%ですか?
これがあなたの唯一の資産であれば、損失はあなたの純資産を0にします。 0の対数は負の無限大です。ケリーの下では、どんな保険でも(どんなに効率が悪くても)それだけの価値があります。これは少し極端なケースですが、他の場所では適用されているように見えても、なぜ適用されないのかを説明します。
さて、他に100万ドルの資産があるとしましょう。保険適用のケースでは、災害が起きても関係なく、常に198万ドルで1年を終えます。保険外の場合は99%が200万ドル、1%が100万ドルです。
自分の価値の期待対数値を最大にしたい。We have log(200万 - 20,000)(the insured case) vs 1% * log(100万) + 99% * log(200万).
Or 14.49 (insured) vs 13.7953 (uninsured)。ケリー基準では、保険はそれだけの価値があると言います。家を買い替える「余裕」があることに注意してください。
今、あなたは10億の価値があると仮定します。保険をかけた側にはlog(10億 - 20k)があり、保険をかけていない側には1%の*log(999 million) + 99%の*log(10億)があります。
両者のlogは20.72(被保険者側)と21.42(無保険者側)になります。
両側の対数は、20.72(被保険者側)と21.42(無保険者側)になります(対数の基底は問題ではありません。
ケリー氏によると、保険をかける価値がないケースを発見しました。
ケリー基準は大まかに言うと、「(期間)毎にこの賭けをした場合、(この賭けを何回も繰り返した場合)平均して、この賭けをしなかった場合よりも金持ちになれるか」ということです。答えが「いいえ」の場合は、外部の保険を使うよりも自己保険の方が効率的であることを暗示しています。答えは、あなたが購入する保険商品の利益率と、あなたの全財産に対する資産の大きさに影響されます。
さて、ケリー基準は簡単に誤用される可能性があります。現在の資産の価値が金銭的にゼロであることは、非金銭的な資産(仕事の能力や友人など)を簡単に無視することができます。また、それは無限に繰り返すことを前提としており、人はそんなに長くは生きられない傾向があります。
しかし、それは良い出発点です。
破産という選択肢は、はるかに貧しい人々にとって保険を「それに見合う価値がない」ものにしてしまう可能性があることに注意してください。
あなたはケリーを使って、あなたの純資産とリスクを考慮して、保険会社の与えられた利益率でどのくらいの保険を購入すべきかを計算することができます。これは、ファイナンスの分野でも、投資でどれだけ賭けをヘッジすべきかを計算するのに使用できます。